Un proyecto de aprendizaje para los alumnos de 4º de E.S.O. (Matemáticas) del I.E.S. Valle de Guerra

Los "otros"



Pues no.
No es la peli de Amenábar.
Con los "otros" nos referimos a esos otros números que han traído de cabeza a más de una mente "maravillosa" y que tan a menudo parecen estar presentes en la Naturaleza (humana y de la otra) que nos rodea.
Aquí vamos a contarles algunas historias:


* Una de Ramanujan

 

El hindú Srinivasa Ramanujan (1887-1920) desarrollaba fórmulas casi imposibles que relacionaban unos números con otros. Una de ellas es sencillamente impresionante y relaciona el número π (que le obsesionaba) con otros números, incluyendo una raíz cuadrada de ocho y una serie con factoriales, potencias y sumas.


Esta fórmula se utilizó para calcular más de 17 millones de cifras decimales de π hace décadas. Ramanujan decía que la diosa de Namakkal le inspiraba algunas de las fórmulas en sus sueños, y viendo ésta casi parecería realmente la explicación más convincente. ¿Cómo se puede llegar a una fórmula tan bella?



* ¡Ay, esas aproximaciones de Π  que hacemos en clase!

Hoy en día conocemos un millón de millones de millones de dígitos decimales del número π (Pi). Hay gente que incluso se sabe miles y miles de memoria. Pero históricamente no siempre se conocieron tantos decimales.

Mira cómo ha evolucionado la cosa:


  • 2.000 A.C. – Los babilonios usaban π = 3 1/8 = 3,125
  • 2.000 A.C. – Los egipcios usaban π = (16/9)2 = 3,1605
  • 1.200 A.C – Los chinos usaban π = 3
  • 550 A.C. – En la Biblia, I Reyes, 7:23, se da a entender que π = 3
  • 300 A.C. – Arquímides calcula que π = 211875/67441 = 3,14163
  • .....
  • 1989 – Un IBM 3090 calcula un 1.000 millones de decimales de π
  • 2002 – Un Hitachi SR8000/MP calcula 1,2 trillones de decimales de π
Vamos, que en clase no hemos pasado del 300 A.C. de Arquímedes, y eso siendo optimistas


* ¿Pero es que hay números de oro?

    La respuesta es rotunda: sí.
    Se llama el número de oro y se representa por la letra griega  (se lee "fi") pues esa es la primera letra del escultor griego Fidias el cual tuvo presente a este número en sus obras.

    Ese es quizás uno de los ejemplos más curiosos de este número (hay muchos otros de tipo matemático aún más enigmáticos ...): el valor del número de oro aparece en las proporciones de las dimensiones que guardan ciertos edificios, ciertas esculturas, ...incluso partes del cuerpo humano

 En esta figura esquemática del Partenón griego se cumple que la proporción entre AB y CD es justo el valor de ; así como AC entre AD y CD con CA

Pero es que también aparece en la relación de medidas de la pirámide de Keops




Por si fuera poco, en la famosa figura obra de Leonardo da Vinci que sirvió de ilustración a la obra de Luca Pacioli "La Divina Proporción", se decía que el cociente entre la altura del hombre y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es justo el valor del número áureo si el cuerpo es armonioso


Más reciente es el cuadro de Dalí "Leda atómica" cuya elaboración se basa es aspectos relacionados también con nuestro número de oro.



Además, la naturaleza se encarga de recordarnos que el número de oro está presente en una de las "formas" más bellas (en la imagen, un nautilus): la espiral logarítmica en cuya construcción matemática, cómo no, figura el número de oro:



* La curva de la bruja Agnesi
   

 En la historia de la Humanidad existen errores que se han perpetuado para siempre. Como ejemplo valga citar a los “indios” que Cristóbal Colón pensaba que había encontrado cuando arribó al Nuevo Mundo, que no eran de la India ni mucho menos, pero es igual, el nombre quedó asignado para siempre con la consiguiente confusión que provoca. La curva denominada “Bruja de Agnesi” es un caso similar.
     La “bruja de Agnesi” se trata de una curva que Fermat había estudiado en 1703, y para la que Grandi, en 1718, había dado un método de construcción. Lo de “bruja” fue un error de traducción. Grandi llamó a la curva versoria en latín, y versiera en italiano. Es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. María Gaetana Agnesi escribió a su vez la versiera, añadiendo el artículo femenino. John Colson, un traductor de Cambridge con poco conocimiento del italiano, llama a la curva witch (‘bruja’), debido a que “confundió” versiera conavversiera (que en italiano significa diablesa o bruja.

El método de construcción de la curva es sencillo; para obtener un punto cualquiera de la curva:
  • Trazamos una circunferencia, con centro en el punto (0, a/2)
  • Desde el origen, (0, 0), trazamos rectas que crucen con la recta y=a (recta OA en la figura, en la que a=10).
  • El punto P de la “bruja” será aquel en que se crucen las rectas BP (horizontal que pasa por el corte entre OA y la circunferencia) y AP (vertical que pasa por el corte entre OA y la recta y=a).

Con un poco de geometría se demuestra que la ecuación de la “bruja de Agnesi” es: 

Esta curva tiene la propiedad de que, tanto a la izquierda como a la derecha se va acercando al eje OX, pero no llega nunca a tocarlo. Es decir, el eje OX es una asíntota horizontal de la curva.
Siendo una curva infinita, si se calcula su área mediante integración, obtenemos que el área que encierra la curva con el eje OX es π.
La curva de Agnesi es esencial en la integración de funciones racionales y se usó para calcular cifras decimales de π.

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